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Part C: Dedekind-MacNeille-Vervollständigung
In diesem Abschnitt geht es darum, zu verstehen, was bei einer Dedekind-MacNeille-Vervollständigung eines Posets genau vor sich geht. Die theoretische Grundlage ist im Satz A.16 und den dazu notwendigen Definitionen gegeben.
Am besten ist an einem konkreten Beispiel zu sehen, wie aus einem beliebigen Poset ein Verband "gezaubert" wird. Unsere Ausgangslage soll das Poset P = (X, P) in Abbildung C.1 sein.
Abbildung C.1: Ein Poset P
P ist sicher kein Verband, da zum Beispiel die Elemente c und d kein Supremum haben. Also macht es Sinn, nach einer Vervollständigung zu fragen, die dann ein (vollständiger) Verband sein muss.
Da wir am Bild des Operators ΓUL, angewendet auf die Grundmenge X unseres Posets, interessiert sind, bleibt uns nichts anderes übrig, als die Werte von ΓUL für alle Teilmengen von X zu berechnen:
| Teilmenge A von X | AU | ΓUL(A) = (AU)L |
|---|---|---|
| {a} | {a,c} | {a} |
| {b} | {b,c,d} | {b} |
| {c} | {c} | {a,b,c} |
| {d} | {d} | {b,d} |
| {a,b} | {c} | {a,b,c} |
| {a,c} | {c} | {a,b,c} |
| {a,d} | ∅ | {a,b,c,d} |
| {b,c} | {c} | {a,b,c} |
| {b,d} | {d} | {b,d} |
| {c,d} | ∅ | {a,b,c,d} |
| {a,b,c} | {c} | {a,b,c} |
| {a,b,d} | ∅ | {a,b,c,d} |
| {a,c,d} | ∅ | {a,b,c,d} |
| {b,c,d} | ∅ | {a,b,c,d} |
| {a,b,c,d} | ∅ | {a,b,c,d} |
Der Operator ΓUL produziert also folgende Menge
im(ΓUL) = {∅, {a}, {b}, {b,d}, {a,b,c}, {a,b,c,d}}.
Wir wissen aus dem Satz A.16 - Dedekind-MacNeille, dass wir diese Elemente nur noch durch die Mengeninklusion ⊆ ordnen müssen, um zum gewünschten (vollständigen) Verband zu gelangen, der sich dicht um unser Poset P legt. Die Abbildung C.2 zeigt unser Resultat.
Abbildung C.2: Dedekind-MacNeille-Vervollständigung des Posets P
Die Einbettung durch die Funktion φX, welche jedem Element aus X sein Down-set zuordnet (φX(a) = {a}, φX(b) = {b}, φX(c) = {a,b,c}, φX(d) = {b,d}), ist im Bild nun deutlich erkennbar.