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Part C: Beweis einer Komplement-Behauptung
Zu beweisende Behauptung:
Bemerkung B.10 - Komplementbehauptung
Sei ∗ ein Schnitt-Pseudokomplement (meet-pseudocomplement) auf der Booleschen Algebra B = (B, ∨, ∧, ', 0, 1). Dann ist auch B' = (B, ∨, ∧, ∗, 0, 1) eine Boolesche Algebra.
Wir überlegen uns zuerst, dass in der Algebra B für alle a, b ∈ B folgende Aussage gelten muss:
a ∧ b = 0 ⇒ a ≤ b'(C.1)
Sei also a ∧ b = 0. Mit den uns bekannten Regeln können wir die folgenden Schlüsse ziehen:
a ∧ b = 0
⇒ (a ∧ b) ∨ a' = a'
⇒ (a' ∨ a) ∧ (a' ∨ b) = a'
⇒ 1 ∧ (a' ∨ b) = a'
⇒ a' ∨ b = a'
⇒ a ∧ b' = a
⇒ a ≤ b'
Aus der Definition des Schnitt-Pseudokomplements (Definition B.7) geht zudem folgende Tatsache hervor:
a ∧ b = 0 ⇒ b ≤ a∗ (C.2)
Auf der einen Seite wissen wir, dass a ∧ a∗ = 0 gilt. Aufgrund der Tatsache in C.1 folgt nun, dass auch a∗ ≤ a' gelten muss. Auf der anderen Seite gilt natürlich auch a ∧ a' = 0. Mit der Implikation in C.2 erhalten wir a' ≤ a∗.
Somit haben wir bewiesen, dass das Schnitt-Pseudokomplement ∗ genau dem Komplement ' entspricht. Also muss B' eine Boolesche Algebra sein.