Definitionen und Sätze pdf
Teil A: Ordnungstheorie 2
Definition A.8 - Schranken, Infimum, Supremum
Sei A = (A, ≤) ein Poset, B ⊆ A eine Teilmenge von A. Ein Element a ∈ A heisst obere Schranke von B, falls b ≤ a für alle b ∈ B. Eine obere Schranke a von B heisst kleinste obere Schranke von B oder Supremum von B (sup B), falls a ≤ a' für alle oberen Schranken a' von B.
Ein Element a ∈ A heisst untere Schranke von B, falls b ≥ a für alle b ∈ B. Eine untere Schranke a von B heisst grösste untere Schranke von B oder Infimum von B (inf B), falls a ≥ a' für alle unteren Schranken a' von B.
Man schreibt oft x ∨ y ("x Verein y") für sup{x,y} und x ∧ y ("x Schnitt y") für inf{x,y}.
Bemerkung A.9 - algebraisierbar
In der AWB heisst eine Ordnung genau dann algebraisierbar, wenn zumindest eine der Operationen Schnitt und Verein total definiert ist.
Zur Verdeutlichung der Definition A.6 - Kette hier einige Bemerkungen über das in Abbildung A (unten) dargestellte Poset A = (A, ≤):
{a, b, c} ⊆ A bildet eine Kette. Die Elemente b und d sind unvergleichbar, während zum Beispiel die Elemente a und f vergleichbar sind. Die Untermenge {a, b, c, d, e} besitzt kein Maximum, hingegen zwei maximale Elemente: c und e. Die Elemente c, e und f sind obere Schranken für diese Menge. Da aber keine kleinste obere Schranke existiert, besitzt die Menge {a, b, c, d, e} kein Supremum (ein Infimum schon: a). Das Element e hat in A genau einen oberer Nachbarn, nämlich das Element f.
Abbildung A: Zwei Hasse-Diagramme desselben Posets
Nebst dem Poset spielt auch der Verband eine wichtige Rolle - und dies nicht ausschliesslich in der Ordnungstheorie.
Definition A.10 - Verband (siehe auch Definition B.2 - Verband)
Ein Verband ist ein Poset A = (A, ≤), für das gilt: Für alle x, y ∈ L existiert das Supremum sup{x,y} und das Infimum inf{x,y}.
Definition A.11 - Vollständiger Verband
Ein Verband A = (A, ≤) heisst vollständig, falls jede beliebige Teilmenge X ⊆ A ein Supremum und ein Infimum besitzt.
Nach Definition A.11 - Vollständiger Verband ist jeder endliche Verband vollständig.