Definitionen und Sätze pdf
Part A: Ordnungstheorie 3
Es stellt sich die Frage, wie zu einem beliebigen Poset (X,P) ein möglichst kleiner vollständiger Verband gefunden werden kann, in welchen sich das Poset einbetten lässt. Die Dedekind-MacNeille-Vervollständigung liefert eine Antwort auf diese Frage. Um zu zeigen, wie diese Vervollständigung eines Posets genau funktioniert, müssen zuerst einige Begriffe eingeführt werden.
Definition A.13 - Down-Set, Up-Set, AL, AU
Sei (X,P) ein Poset, A ⊆ X eine Teilmenge. Wir definieren:
- ↓A = {x ∈ X : ∃a ∈ A mit x ≤ a} (Down-Set von A)
- ↑A = {x ∈ X : ∃a ∈ A mit a ≤ x} (Up-Set von A)
- ↓x = ↓{x}
- ↑x = ↑{x}
- AL = {x ∈ X : x ≤ a ∀a ∈ A} (Menge der unteren Schranken von A)
- AU = {x ∈ X : a ≤ x ∀a ∈ A} (Menge der oberen Schranken von A)
Wir suchen schlussendlich einen möglichst kleinen Verband, in den das Poset passt. Das heisst, dass das Poset dicht an den Verband heran kommt. Etwas mathematischer ausgedrückt:
Sei (X, P) ein Poset. Dann heisst S ⊆ X ∧-dicht resp. ∨-dicht, falls es für alle x ∈ X ein T ⊆ S gibt mit inf T = x resp. sup T = x.
Ist S sowohl ∧-dicht wie auch ∨-dicht, so heisst S dicht.
Sei (X, P) ein Poset. Der (Hüllen-)Operator ΓUL ist wie folgt definiert:
ΓUL: A ⊆ X ↦ (AU)L
Satz A.16 - Dedekind-MacNeille (Cf. auch Dedekind-MacNeille-Vervollständigung)
Sei (X, P) ein Poset und DM(X, P) = (im(ΓUL), ⊆). φ: X → 𝒫(X) ist gegeben durch x ↦ ↓x. Dann gilt:
- DM(X, P) ist ein vollständiger Verband
- φ ist eine Ordnungseinbettung
- Ist (X, P) bereits ein vollständiger Verband, dann ist (X, P) ≅ DM(X, P), insbesondere ist φ ein Verbandsisomorphismus.
- φ(X) liegt dicht in DM(X, P)
Das Poset DM(X, P) = (im(ΓUL), ⊆) zusammen mit der Einbettung φx wird Dedekind-MacNeille-Vervollständigung des Posets (X, P) genannt. Es ist der gesuchte kleinste vollständige Verband, welcher das Poset (X, P) enthält.
Siehe auch die Illustration in Part C: Dedekind-MacNeille-Vervollständigung.