Definitionen und Sätze pdf
Part A: Ordnungstheorie 4
Bevor der ordnungstheoretische Teil abgeschlossen wird, soll noch eine schöne Anwendung von kritischen und schwach kritischen Paaren aufgezeigt werden.
Definition A.18 - Kritisches Paar
Sei P = (X, P) ein Poset. (x,y) heisst kritisches Paar, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
- x und y sind unvergleichbar
- a < x ⇒ a < y ∀a ∈ X
- b > y ⇒ b > x ∀b ∈ X
(x,y) kritisches Paar ⇏ (y,x) kritisches Paar.
Definition A.30 - Schwach Kritisches Paar
Sei P = (X, P) ein Poset. (x,y) heisst schwach kritisches Paar, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
- x ≰ y
- a < x ⇒ a ≤ y ∀a ∈ X
- b > y ⇒ b ≥ x ∀b ∈ X
Jedes kritische Paar ist auch ein schwach kritisches Paar. Ein schwach kritisches Paar, welches nicht kritisch ist, wird im Folgenden auch echt schwach kritisch genannt.
Definition A.32 - Maximaler 0,1-Unterverband
Sei L ein endlicher, distributiver Verband (L ∈ DLfin) und M ⊆ L eine Teilmenge.
M ist ein 0,1-Unterverband von L, falls M ein Unterverband von L ist mit 0L, 1L ∈ M.
M heisst maximaler 0,1-Unterverband von L, falls M 0,1-Unterverband ist und für einen 0,1-Unterverband M' gilt: M ⊆ M' ⊆ L ⇒ M'=M oder M'=L.
Definition A.33 - ∨- resp. ∧-irreduzibles Element, J(L)
Sei L ein endlicher distributiver Verband. x ∈ L heisst ∨-irreduzibel (Verein- oder join-irreduzibel) genau dann, wenn x = y ∨ z ⇒ x = y oder x = z gilt (∧-irreduzibel (Schnitt- oder meet-irreduzibel) analog).
J(L) (von Join-irreducible) ist die Menge aller ∨-irreduziblen Elemente von L ohne die 0.
Dual dazu kann man die Menge M(L) (von Meet-irreducible Lattices) als Menge aller ∧-irreduziblen Elemente von L ohne die 0 definieren.
Wegen der symmetrischen Natur der Verbände genügt es aber J(L) zu definieren.
Satz A.34 - Satz von Hashimoto
Maximale 0,1-Unterverbände von L entsprechen bijektiv den kritischen und schwach kritischen Paaren aus J(L).