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Part C: Vermutung über 0,1-simple Verbände
Im Einstiegsproblem 2 wurde darauf hingewiesen, dass bezüglich nicht-einfachen, 0,1-simplen Verbänden eine Vermutung entstanden ist. Diese soll hier als Satz formuliert und bewiesen werden (siehe auch Definition B.27 - Einfache Algebra, Definition B.30 - 0,1-simple und Remark B.31 - 0,1-simple).
Proposition C.1 - Satz 0,1-simple
Sei M der in Abbildung C.3 dargestellte Verband und seien die drei Schritte S1, S2 und S3 gegeben, welche auf einen Verband L mit 0 und 1 angewendet werden können:
| S1: | Spalten eines Punktes in einer Kette zwischen 0 und 1. Sei x ∈ C ∈ L ein Punkt in einer Kette zwischen 0 und 1, für welche gilt: Jedes c ∈ C hat genau einen unteren Nachbarn cu und genau einen oberen Nachbarn co. Schiebe einen neuen Punkt x' zwischen x und xu, so dass xu < x' < x < xo gilt. |
|---|---|
| S2: | Hinzufügen eines Punktes zwischen 0 und 1. Füge dem Verband L einen neuen Punkt x mit 0 < x < 1 hinzu, der mit allen anderen Elementen y ∈ L∖{0,1} unvergleichbar ist. |
| S3: | Einkleben eines Verbandes zwischen zwei Punkte in einer Kette zwischen 0 und 1. Seien x,y ∈ C ∈ L zwei benachbarte Punkte (x < y, x ≠ 0, y ≠ 1) in einer Kette zwischen 0 und 1, für welche gilt: Jedes c ∈ C hat genau einen unteren Nachbarn cu und genau einen oberen Nachbarn co. Schiebe einen nicht-einfachen Verband L' mit einem minimalen Element 0L' und einem maximalen Element 1L' so zwischen x und y, dass y = 0L' und x = 1L' gelten. |
Dann gilt:
- M ist der kleinste nicht-einfache, 0,1-simple Verband.
- Werden in beliebiger Reihenfolge und mit beliebig häufigen Wiederholungen die Schritte S1, S2 und S3 auf den Verband M angewendet, ist das Resultat immer ein nicht-einfacher, 0,1-simpler Verband.
Abbildung C.3: Der Verband M
Um zu zeigen, dass der Verband M der kleinste mit der gewünschten Eigenschaft ist, ist zu überlegen, wie Verbände, die kleiner oder gleich gross sind, aussehen. Abbildung C.4 zeigt diese Verbände.
Abbildung C.4: Alle Verbände mit bis zu sechs Elementen (ohne Verband M)
Es lässt sich einfach nachprüfen (mit Hilfe der Kongruenzenberechnung der AWB), dass keiner der Verbände mit höchstens 6 Elementen, ausser dem Verband M natürlich, sowohl nicht-einfach wie auch 0,1-simple ist. Also muss der Verband M der kleinste dieser Art sein.
Es bleibt also noch zu zeigen, dass die Schritte S1, S2 und S3 diese Eigenschaften erhalten. Folgender Satz wird bei diesem Unterfangen behilflich sein:
Satz C.2 - Drei-Stränge Behauptung
Jeder Verband, der aus mindestens drei Strängen zusammengeklebt wurde, ist 0,1-simple. Dabei ist ein Strang ein Verband L, dessen Maximum 1L ∨-irreduzibel und dessen Minimum 0L ∧-irreduzibel ist (siehe Definition A.33 - ∨- resp. ∧-irreduzibel).
Zusammengeklebt werden die Stränge L1, ..., Ln durch die Vereinigung L1 ∪ ... ∪ Ln, wobei ihre grössten Elemente 1L1, ..., 1Ln miteinander identifiziert werden und ihre kleinsten Elemente 0L1, ..., 0Ln miteinander identifiziert werden.
Sei K ein Verband mit mindestens drei Strängen und x ∈ K∖{0,1} ein Element, für welches gilt: xΘ1 für ein Θ ∈ ConK. Wähle nun ein mit x unvergleichbares Element y ∈ K und setze a1 := x, a2 := y, b1 := 1 und b2 := y. Es gilt also a1 Θ b1 und a2 Θ b2. Weil die Kongruenz Θ Schnitt und Verein erhält, gilt 0 = a1 ∧ a2Θb1 ∧ b2 = y. Jedes y ∈ K∖{1,x} gehört also zur selben Kongruenzklasse wie die 0.
Weil K mindestens drei Stränge besitzt, gibt es unter ebendiesen Elementen zwei unvergleichbare Elemente y1 und y2, für welche y1 ∨ y2 = 1 gilt. Nach Bemerkung B.23 muss also die 1 und damit alle Elemente von K zur selben Kongruenzklasse gehören wie die 0. Also gilt Θ = ∇K}.
Analog lässt sich zeigen, dass aus xΘ0 für ein Θ ∈ ConK die Gleichheit Θ = ∇K folgen muss.
In K gibt es also keine Kongruenz (ausser ∇K), bei welcher sich die 1 oder die 0 mit anderen Elementen des Verbandes die Klasse teilen müssen. K muss also ein 0,1-simpler Verband sein - und der Satz C.2 ist bewiesen. ∎
Der "Ausgangsverband" M besteht aus mindestens drei Strängen. An dieser Tatsache vermögen alle drei Schritte S1, S2 und S3 nichts zu verändern: Beim Spalten eines Punktes in einer Kette zwischen 0 und 1 bleibt die Anzahl der Stränge konstant (S1). Beim Hinzufügen eines Punktes zwischen 0 und 1 wird die Anzahl der Stränge um 1 erhöht (S2). Das Einkleben eines Verbandes zwischen zwei Punkte in einer Kette zwischen 0 und 1 verändert die Anzahl der Stränge nicht. Also ist jeder Verband, der ausgehend vom Verband M mittels Konstruktion aus Satz 3.1 gebildet wird, 0,1-simple.
Es bleibt noch zu zeigen, dass die so konstruierten Verbände nicht-einfach sind. Aufgrund der Gestalt vom Verband M und den Schritten S1 bis S3 ist klar, dass ein nach Satz 3.1 konstruierter Verband M' immer einen Strang L ⊆ M' besitzen muss, der nebst den extremen Elementen 0L ≅ 0 und 1L ≅ 1 mehr als nur ein einziges Element besitzt. Es gibt also eine Kongruenz von M', welche alle Elemente von x ∈ L∖{0,1} miteinander identifiziert, während alle restlichen Elemente (insbesondere die 0 und die 1) selbst eine Klasse bilden. Diese Kongruenz entspricht aber weder ΔM' noch ∇M'. Der Verband M' ist also nicht einfach. Damit ist der Satz C.1 bewiesen. ∎
Es ist naheliegend zu fragen, ob jeder nicht-einfache, 0,1-simple Verband mit der Konstruktion aus Satz C.1 erstellt werden kann. Folgendes Beispiel zeigt aber, dass dies nicht der Fall ist.
Abbildung C.5: Verband mit zwei verbundenen Strängen
Der Verband in der Abbildung C.5 kann nicht durch Zusammenkleben von Strängen gebildet werden (siehe Satz C.2). Weil er zwei Stränge besitzt, die nicht nur bei 0 und 1 miteinander verklebt sind, kann er nicht ausgehend von M mithilfe der Schritte S1, S2 und S3 erreicht werden.
Also ist durch den Satz C.1 eine Konstruktion gegeben, mit der beliebig viele nicht-einfache, 0,1-simple Verbände konstruiert werden können, die aber nicht zu allen solchen Verbänden führt.