Definitions and Propositions pdf
Part B: Universal Algebra 2
Abbildungen von der einen in die andere Struktur werden Morphismen genannt. Wie in vielen anderen mathematischen Gebieten werden auch hier verschiedene Morphismen unterschieden.
Es seien A und B Algebren desselben Typs F. Eine Abbildung φ : A → B heisst Homomorphismus von A nach B, falls für alle f ∈ F und alle a1, ...,an ∈ A (n = σ(f)) die folgende Bedingung erfüllt ist.
φfA(a1, ..., an) = fB(φa1, ..., φan)
Ein bijektiver Homomorphismus φ : A → B heisst Isomorphismus von A nach B, A ≅ B, falls auch die Umkehrabbildung ein Homomorphismus ist.
Surjektive Homomorphismen heissen Epimorphismen. Ist φ : A → B ein Epimorphismus, so wird B homomorphes Bild von A genannt (φA = B ).
Injektive Homomorphismen werden Einbettungen genannt, und ein Homomorphismus einer Algebra A in sich selbst heisst Endomorphismus. Ein Endomorphismus, der gleichzeitig bijektiv, also ein Isomorphismus ist, heisst Automorphismus.
In der AWB kann gewählt werden, welche Operationen auf einer Struktur durch einen Morphismus erhalten bleiben sollen. Sind zum Beispiel alle Homomorphismen zwischen zwei posets gefragt, sollte "Order" erhalten bleiben.
Die Rolle, welche in der Gruppentheorie von Normalteilern beziehungsweise in der Ringtheorie von Idealen übernommen wird, spielen hier in der verallgemeinerten Situation die Kongruenzrelationen. Um diese einzuführen, ist es nötig zu wissen, was eine Äquivalenzrelation ist.
Definition B.19 - Äquivalenzrelation
Sei A eine Menge. Eine Teilmenge Θ ⊆ A2 heisst eine Äquivalenzrelation auf A, falls für alle x, y, z ∈ A folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
| (Reflexivität) | (x,x) ∈ Θ |
| (Symmetrie) | (x,y) ∈ Θ → (y,x) ∈ Θ |
| (Transitivität) | (x,y) ∈ Θ und (y,z) ∈ Θ → (x,z) ∈ Θ |
Für eine Äquivalenzrelation Θ heissen die Mengen [a]Θ = {x ∈ A : (x,a) ∈ Θ} Äquivalenzklassen. Jedes Element aus A gehört zu genau einer Äquivalenzklasse von Θ.
Die folgenden zwei Äquivalenzrelationen existieren in jeder Menge. Die Allrelation ∇A := A2 ist die grösste und die Diagonale ∆A := {(a,a) : a ∈ A} ist die kleinste aller Äquivalenzrelationen einer Menge. Besitzt A nur ein Element, dann fallen die Allrelation und die Diagonale zusammen.
Die Menge aller Äquivalenzrelationen auf A wird mit EqA bezeichnet.
Es sei A eine Menge und ℛ eine nichtleere Teilmenge von EqA. Dann gilt: ⋂ ℛ ∈ EqA.
Proposition B.21 - Äquivalenzrelationenverband
Für jede Menge A ist (EqA, ∨, ∧) ein Verband (der Äquivalenzrelationenverband auf A).
Sei A eine Menge, Θ ∈ EqA, f ∈ Opn(A). Dann heissen Θ und f verträglich, falls für alle a1, ..., an, b1, ..., bn ∈ A mit a1Θb1, ..., anΘbn immer
f(a1, ..., an)Θf(b1, ..., bn)
gilt. Man nennt Θ ∈ EqA eine Kongruenzrelation (kurz: Kongruenz) auf der Algebra A = (A, F), falls Θ mit allen f ∈ F verträglich ist.
Ist eine Äquivalenzrelation eine Kongruenzrelation, dann ist deren Äquivalenzklasse eine Kongruenzklasse.
Die Menge aller Kongruenzrelationen auf A wird mit ConA bezeichnet.
Remark B.23 - Schnitt in Kongruenzklasse
Sind zwei Elemente x und y eines Verbandes in derselben Kongruenzklasse, so gehören auch deren Schnitt x ∧ y und Verein x ∨ y zu dieser Klasse.
Sind zwei Elemente u und v mit u < v in derselben Kongruenzklasse, so gehört auch jedes Element w ∈ [u,v] in diese Klasse.