Definitions and Propositions pdf
Part B: Universal Algebra 3
Zu überprüfen, ob eine Relation eine Kongruenz ist oder nicht, kann je nach Situation sehr aufwändig sein. Eine hinreichende Bedingung für die Verträglichkeit mit allen fundamentalen Operationen der Algebra A lässt sich mit Hilfe der Translationen von A formulieren.
Sei A = (A, F) eine Algebra. Eine Abbildung der Form x ↦ f(a1, ..., ai-1, x, ai+1, ..., an) mit f ∈ F und a1, ..., ai-1, ai+1, ..., an ∈ A, heisst Translation von A.
Eine Translation von A gehört im Allgemeinen nicht zu den fundamentalen Operationen F von A.
Für jede Algebra A = (A,F) gilt: Θ ∈ EqA ist genau dann eine Kongruenzrelation von A, wenn Θ mit allen Translationen von A verträglich ist.
Definition B.27 - Einfache Algebra
Eine Algebra A = (A,F), die ausser ∆A und ∇A keine weiteren Kongruenzrelationen hat, heisst einfach.
Es sei φ : A → B eine Abbildung. Dann ist der Kern von φ definiert als Kernφ := {(a,b) ∈ A2 : φa = φb}.
Proposition B.29 - Satz über Kern von Homomorphismen
Für jeden Homomorphismus φ : A → B ist Kernφ eine Kongruenzrelation auf A. Es gilt sogar noch mehr: Die Kongruenzrelationen auf einer Algebra A sind genau die Kerne von Homomorphismen mit Definitionsbereich (domain) A.
Definition B.30 - 0-1-trennend, 0,1-simple
Sei L ein Verband mit grösstem Element 1 und kleinstem Element 0. Ein Homomorphismus φ : L → L' von L in einen Verband L' heisst 0-trennend resp. 1-trennend, falls φ-1{φ(0)} = {0} resp. φ-1{φ(1)} = {1} gilt.
Man nennt φ 0-1-trennend, falls φ sowohl 0-trennend wie auch 1-trennend ist. Der Verband L heisst 0,1-simple, falls jeder nichtkonstante Homomorphismus φ : L → L' 0-1-trennend ist.
Aufgrund von Satz B.29 ist ein Verband L mit 0 und 1 genau dann 0-1-trennend, wenn alle von ∇L verschiedenen Kongruenzen von L die Mengen {0} und {1} als Kongruenzklassen haben.
Was für Algebren und äquivalenzrelationen gilt, ist auch für Kongruenzrelationen richtig:
Proposition B.32 - Kongruenzverband
Es sei A eine Algebra und ℛ eine nichtleere Teilmenge von ConA. Dann gilt: ⋂ ℛ ∈ ConA.
Und: Für jede Algebra A ist (ConA, ∨, ∧) ein Unterverband von (EqA, ∨, ∧). Insbesondere ist (ConA, ∨, ∧) ein Verband (der Kongruenzverband von A).
Sei L ein Verband, a, b ∈ L. Das Intervall [a,b] ist wie folgt definiert: [a,b] = {x : x ∈ L, a ≤ x ≤ b}
Sei L ein Verband, Θ eine Kongruenz auf L. Dann ist jede Kongruenzklasse von Θ ein Intervall auf L. Falls [x1] = {x1, x2, ..., xp}, dann ist
[x1]Θ = [x1 ∧ x2 ∧ ... ∧ xp, x1 ∨ x2∨ ... ∨ xp]
Die Kongruenz Θ auf L ist ein Unterverband von L.