Definitions and Propositions pdf
Part B: Universal Algebra 4
Aus gegebenen Algebren sollen oft neue konstruiert werden. Mit dem bisherigen Wissen können homomorphe Bilder und auch Unteralgebren gebildet werden, welche aber immer gleich gross oder kleiner als die ursprüngliche Algebra sind. Mit der Einführung des direkten Produkts eröffnet sich die Möglichkeit, aus bestehenden Algebren grössere zu gewinnen.
Definition B.35 - Direktes Produkt
A und B seien Algebren des Typs F. Das direkte Produkt A × B ist definiert als die Algebra mit Grundmenge B × C und den für jedes f ∈F (sei σ(f) = n) durch
fA×C((a1,b1), ..., (an,bn)) := (fA(a1, ..., an), fB(b1, ..., bn))
definierten fundamentalen Operationen.
Das direkte Produkt lässt sich auch verallgemeinern: Für die Algebren Ai, i ∈ I wird das direkte Produkt dann als ∏i∈I Ai geschrieben. Die fundamentalen Operationen werden komponentenweise definiert.
Definition B.37 - Subdirektes Produkt
Die Algebren Ai, i ∈ I seien alle vom selben Typ. Eine Unteralgebra B von ∏i∈I Ai heisst ein subdirektes Produkt der Ai falls αj(B) = Aj für alle j ∈ I. Hierbei bezeichnet αj die Projektionsabbildung von Ai, i ∈ I auf Aj.
Proposition B.38 - Irreduzibles subdirektes Produkt
Eine Algebra A ist genau dann subdirekt irreduzibel (nicht als ein echtes subdirektes Produkt darstellbar), wenn A trivial ist (d.h. höchstens ein Element besitzt) oder wenn in ConA gilt: ∆A ≠ ⋂(ConA \ {∆A}). Dies ist offenbar genau dann der Fall, wenn ∆A in ConA genau einen oberen Nachbarn hat (siehe Abbildung B).
Abbildung B: Kongruenzverband einer subdirekt irreduziblen Algebra
Proposition B.39 - Irreduzibles subdirektes Produkt 2
Sei A eine Algebra und Θ eine Kongruenz auf A. A/Θ ist genau dann subdirekt irreduzibel, wenn x,y ∈ A existieren mit x ≠ y (mod Θ) und x = y (mod Ψ) für jede Kongruenz Ψ auf A mit Θ ⊂ Ψ.
Proposition B.50 - Satz von Birkhoff
Jede Algebra ist isomorph zu einem subdirekten Produkt subdirekt irreduzibler Algebren.