Tutorial: Übersicht der Beispielprobleme zum Einstieg
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In diesem Kapitel werden mathematische Probleme und deren Lösungen untersucht, bei denen die AWB zu Hilfe gezogen werden kann. Oft ist dabei nicht vor allem die theoretische, sondern die konstruktive Herangehensweise gefragt.
Im folgenden finden Sie einen Überblick aller Einstiegsprobleme. Bei jedem der Probleme finden Sie einen Link zur Lösung online, einen Link zur Lösung im .pdf Format, und einen letzten Link um eine AWB-Arbeitsumgebung (.owf als .zip File) mit einer Beispiellösung herunterzuladen.
Einstiegsproblem 1: Link zur Lösung pdf Workspace 1
Sei A = (A, F) eine Algebra mit A = {a, b, c, d} und den wie folgt definierten Operationen ∘ und ★ gegeben.
| ∘ | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| a | a | b | c | d |
| b | b | c | d | a |
| c | c | d | a | b |
| d | d | a | b | c |
| ★ | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| a | a | a | a | a |
| b | a | b | c | d |
| c | a | c | a | c |
| d | a | d | c | b |
Berechne sämtliche Kongruenzen und Unteralgebren und zeige, dass A isomorph zum Ring ℤ4 ist.
Einstiegsproblem 2: Link zur Lösung pdf Workspace 2
Finde nicht-einfache, 0,1-simple Verbände L = (L, ∨, ∧).
Einstiegsproblem 3: Link zur Lösung pdf Workspace 3
Beschreibe das direkte Produkt A × B der Algebren A = (A, fA, gA) und B = (B, fB, gB) durch Angabe der Verknüpfungstafeln von fA × B und gA × B.
A := {a, b, c}
| fA | a | b | c |
|---|---|---|---|
| a | b | a | c |
| b | a | b | c |
| c | c | c | b |
| x | a | b | c |
|---|---|---|---|
| gA(x) | a | b | c |
B := {0, 1}
| fB | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| x | 0 | 1 |
|---|---|---|
| gB(x) | 1 | 0 |
Einstiegsproblem 4: Link zur Lösung pdf Workspace 4
Sei A eine Menge mit fünf Elementen. Zeige, dass die Algebra (Eq(A), ∪, ∩) einfach ist.
Einstiegsproblem 5: Link zur Lösung pdf Workspace 5
Die zweielementige boolesche Algebra 2 = ({0,1}, ∨, ∧, ', 0, 1) ist gegeben und es sei 24 := 2 × 2 × 2 × 2 (vergleiche direktes Produkt).
Bestimme alle Homomorphismen von 24 nach 2.
Einstiegsproblem 6: Link zur Lösung pdf Workspace 6
Prüfe die Algebra 25 auf Kongruenzdistributivität. Eine Algebra heisst kongruenzdistributiv, falls ihr Kongruenzverband distributiv ist (vergleiche Definition distributiver Verband).
Einstiegsproblem 7: Link zur Lösung pdf Workspace 7
Zeige: N5 ist subdirekt irreduzibel.
Einstiegsproblem 8: Link zur Lösung pdf Workspace 8
Berechne die achtelementigen Unteralgebren der booleschen Algebra B6 mit 6 Atomen.
Einstiegsproblem 9: Link zur Lösung pdf Workspace 9
Es sei S2 = ({0, a, b, e, 1}, ∧, *), wobei * einstellig ist (vergleiche Abbildung unten, * ist durch Pfeile angegeben; siehe auch Einstiegsproblem 10).
Finde für S2 alle Kongruenzen Θ mit der Eigenschaft, dass S2/Θ isomorph zu einer Unteralgebra von S2 ist.
Abbildung: Algebra S2
Einstiegsproblem 10: Link zur Lösung pdf Workspace 10
Es sei S2 = ({0, a, b, e, 1}, ∧, *), wobei * einstellig ist (vergleiche Abbildung unten, * ist durch Pfeile angegeben; siehe auch Einstiegsproblem 9).
Ue die vom Element e ∈ S2 erzeugte Unteralgebra von S2. Zeichne den Unteralgebrenverband (SubUe2, ∨, ∧) als Hasse Diagramm.
Abbildung: Algebra S2