Tutorial: Introductory Problems pdf
Einstiegsproblem 1:
Sei A = (A, F) eine Algebra mit A = {a, b, c, d} und den wie folgt definierten Operationen ∘ und ★ gegeben.
| ∘ | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| a | a | b | c | d |
| b | b | c | d | a |
| c | c | d | a | b |
| d | d | a | b | c |
| ★ | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| a | a | a | a | a |
| b | a | b | c | d |
| c | a | c | a | c |
| d | a | d | c | b |
Berechne sämtliche Kongruenzen und Unteralgebren und zeige, dass A isomorph zum Ring ℤ4 ist.
Lösung: Download Workspace 1
Bevor wir etwas auf der Algebra A = (A, F) berechnen können, müssen wir dafür sorgen, dass sie in unserer Arbeitsumgebung als eine Struktur vorhanden ist. Wir platzieren also vier Punkte in ein leeres Strukturfenster, welches wir idealerweise A nennen. Mit Kanten brauchen wir diese Punkte nicht zu verbinden, weil in dieser Aufgabe keine Rede von einer Ordnung ist.
Zur Erinnerung:
Zu einem leeren Strukturfenster gelangen Sie entweder via dem Neu-Fenster: [Neu öffnen/Andere/Leere Struktur] oder aber via dem Menu [Datei.../Neu/Leere Struktur].
Mittels Button 3 
des Strukturfensters können Sie beliebig viele Punkte (in unserem Falle vier) in das Strukturfenster einfügen.
Mittels Button 22 
öffnen wir das Tabellenfenster, und im Tabellenfenster öffnen wir im Register [Algebraische Struktur] das Register [Operationen]. Mittels Neu-Button 
können wir nun problemlos beliebig viele neue Operation auf die bestehende Struktur definieren (siehe Abbildung 1 unten). Also definieren wir die beiden Operationen ∘ und ★.
Zuerst wird der Name der Operation festgelegt. In unserem Fall müssten wir den beiden Operationen zum Beispiel die Namen k und l geben, weil Zeichen wie "∘" und "★" nicht unterstützt werden. (Namen sind in der AWB grundsätzlich Strings - gerade bei der Benennung von Strukturen sollte man aber wegen Windows mit Sonderzeichen (z.B. dem Backslash "\") vorsichtig sein). Die Stelligkeit ist 2 und die Notation spielt in unserem Fall keine Rolle.
Abbildung 1: Fenster zur Eingabe von Name, Stelligkeit und Notation der Operation.
Mittels dieses Buttons 
kommen wir zum Fenster zur Operationsbearbeitung (siehe auch Abbildung 2 unten) geben wir die gewünschten Werte der Operationen ein. Wir bestätigen per Mausklick und sind nun bereit, auf die eigentlichen Aufgaben einzugehen.
Abbildung 2: Fenster zur Operationsbearbeitung.
Zur Erinnerung:
Die Punkte können im Register [Elemente (Namen und Position)] des Tabellenfensters neu benannt werden (siehe auch Abbildung 3 unten).
Abbildung 3: Tabellenfenster.
Um alle Kongruenzen zu erhalten, öffnen wir das Kongruenzenregister im Neu-Fenster, wählen den Träger A und häkeln bei den Kategorien unsere beiden Operationen ab, weil ja die Kongruenz mit ihnen verträglich sein muss. Wir erhalten die Kongruenzen C0 = {[a, b, c, d]}, C1 = {[a, c], [b, d]} und C2 = {[a], [b], [c], [d]}. (Siehe Abbildung 4 unten.)
Abbildung 4: Das Kongruenzenfenster.
Hint:
Scheint das Feld Kongruenzklassen leer zu sein, klicken Sie mit der Maus einmal in die Kongruenzentabelle.
Sämtliche Unteralgebren, nämlich U0 = ∅, U1 = {a}, U2 = {a, c} und U3 = {a, b, c, d}, kriegen wir analog im Substrukturenregister.
Es bleibt also noch zu zeigen, dass A ≅ ℤ4 gilt. Im Nu haben wir über den Pfad [Datei.../Neu/Vordefiniert/Quotienten-Ring Z/nZ...] die Algebra ℤ4 mit ihren beiden Operationen umgesetzt. Wir geben dieser Struktur den Namen Z4. Nun können wir im Morphismenregister bestimmen, auf welche Operation in Z4 (+ und ∧) unsere beiden Operationen abgebildet werden sollen. Wir haben also zwei Möglichkeiten (die Operationen aus F müssen auf verschiedene Operationen in Z4 geschickt werden, weil wir einen Isomorphismus suchen). Entweder berechnen wir alle Morphismen, lassen uns anschliessend die Informationen zu den einzelnen Abbildungen anzeigen und suchen so einen Isomorphismus oder wir schränken die Berechnung schon auf Isomorphismen ein - beides ist richtig und führt uns zum Ziel: Wir haben einen Isomorphismus zwischen A und ℤ4 gefunden. (Siehe Abbildung 5 unten.)
Abbildung 5: Das Morphismenfenster.
Bemerkung:
In den folgenden Beispielen und Einstiegsproblemen sind alle Screenshots von der englischen Version der AWB.