Tutorial: Introductory Problems pdf
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Einstiegsproblem 10:
Es sei S2 = ({0, a, b, e, 1}, ∧, *), wobei * einstellig ist (vergleiche Abbildung ref{s2}, * ist durch Pfeile angegeben). Ue die vom Element e ∈ S2 erzeugte Unteralgebra von S2. Zeichne den Unteralgebrenverband (SubUe2, ∨, ∧) als Hasse Diagramm.
Lösung: Download Workspace 10
index{Subalgebra} index{Verband!Unteralgebren-}
Aus Einstiegsproblem ref{prob_S2} ist bekannt, welche Unteralgebren die Algebra S2 besitzt. Welche davon ist vom Element e erzeugt? Die erste Möglichkeit eine Antwort zu finden ist der Generator-Button im Substrukturenfenster. Damit werden alle möglichen Generatoren der einzelnen Unteralgebren in die Tabelle eingetragen (dies wird aus Zeitgründen defaultmässig nicht berechnet). Es werden also die erzeugenden Mengen angegeben.
Wir sehen schnell, dass U2 = {0,e,1} von e erzeugt wird. Die zweite Möglichkeit, die Antwort (U2) zu finden bieten mathematische Überlegungen. Unsere Ausgangsmenge ist {e}, unsere Waffen sind der Schnitt und die Operation *. Der Schnitt kann nichts ausrichten, weil e ∧ e = e gilt. Weil aber *(e) = 0 gilt, dürfen wir unsere Menge erweitern: {0,e}. Der Schnitt hilft uns wieder nicht weiter, aber *(0) = 1. Da mittels Schnitten und Anwendungen von * weder a noch b zu erreichen sind, ist die von e erzeugte Menge {0,e,1}, also U2. Es gilt also (doppelt nachgewiesen) Ue = U2.
Wir lassen Ue als eigene Struktur darstellen und gelangen über das Produktregister schnell zu Ue2. Dann lassen wir im Substrukturenregister alle Unteralgebren berechnen, welche ∧ und * erhalten. Mit einem Knopfdruck lassen sich die berechneten Unteralgebren, geordnet durch die Mengeninklusion, als neue Struktur darstellen. Dies ergibt eine Dreierkette, index{Kette} welche dem gefragten SubUe2 entspricht.