Tutorial: Introductory Problems pdf
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Einstiegsproblem 9:
Es sei S2 = ({0, a, b, e, 1}, ∧, *), wobei * einstellig ist (vergleiche Abbildung ref{s2}, * ist durch Pfeile angegeben). Finde für S2 alle Kongruenzen Θ mit der Eigenschaft, dass S2/Θ isomorph zu einer Unteralgebra von S2 ist.
Lösung: Download Workspace 9
index{Relation!Kongruenz-} index{Morphismus!Isomorphismus} index{Subalgebra}
Abbildung: Die Algebra S2 label{s2}
Bevor wir auf die Suche nach der Kongruenz Θ gehen können, müssen wir die Algebra S2 "im Kasten" haben.
Wir öffnen eine leere Struktur und erstellen fünf Punkte darin. Diese ordnen wir der Zeichnung gemäss an und benennen sie in die Elementnamen 0, a, b, e und 1 um. Dann erstellen wir die nötigen Kanten. Achtung: eine neue Kante wird vom kleineren zum grösseren Element gezogen; also von unten nach oben im Hasse-Diagramm. Da der Schnitt, respektive das Infimum, bei Posets schon vordefiniert ist, brauchen wir nur noch die Operation * zu realisieren. index{Operation}
Dazu öffnen wir per Button das Fenster mit den Operations- und Relationstafeln. Dort gehen wir ins Register "Algebraische Struktur" und dann ins Register "Operationen", um unsere Operation zu definieren. Nachdem wir den Neu-Button gedrückt haben, können wir uns entscheiden, wie unsere Operation heissen soll, welches ihre Stelligkeit ist und in welcher Notation sie dargestellt werden soll.
Anschliessend doppelklicken wir auf die neue Operation in der Liste oder erreichen das Bearbeitungsfenster für Operationen mit dem dafür vorgesehenen Button. In diesem Fenster können wir nun für jedes Element aus S2 angeben, wohin es durch die Operation * geschickt werden soll (siehe Abbildung ref{operationsbearbeitung}).
Abbildung: Fenster, um Operationen zu bearbeiten \label{operationsbearbeitung}
Die Elemente, die in der Element-Auswahl oben am Fenster ausgewählt sind, können einfach per Doppelklick in die Tabelle eingefügt werden. Mit Hilfe des Axiom-Feldes könnten Eigenschaften einer Operation überprüft werden. Diese Eigenschaften müssen in den Ausdruckseditor der entsprechenden Struktur geladen oder gar dort definiert werden, damit man vom Operationsbearbeitungs-Fenster aus auf sie zugreifen kann. Wir bestätigen unsere Eingabe mit dem entsprechenden Button links unten. Nun ist die Struktur S2 definiert.
Um die Unteralgebren von S2 zu finden, lassen wir im Substrukturenregister alle Substrukturen erstellen, die unter Schnitt und $*$ abgeschlossen sind. Wir sehen, dass es deren fünf (mit den Elementen {}, {0,1}, {0,e,1}, {0,a,b,1} und {0,a,b,e,1}) gibt. Zur Vermeidung von Verwechslungen unserer Algebra mit der Unteralgebra S2 können wir S0, ..., S4 nach U0, ..., U4 umbenennen.
Im Kongruenzenregister berechnen wir alle Kongruenzen die unter Schnitt und * abgeschlossen sind. Es gibt fünf solche Kongruenzen, hier durch ihre Klassen angegeben: C0 = {[0,a,b,e,1]}, C1 = {[0,a], [b,e,1]}, C2 = {[0,b], [a,e,1]}, C3 = {[0], [a], [b], [e,1]} und C4 = {[0], [a], [b], [e], [1]}
Um nun von einer Kongruenz Θ zur Struktur S2/Θ zu gelangen, betätigen wir den entsprechenden Button im Kongruenzenfenster. S2/C0 zum Beispiel wird eine Algebra mit nur einem Element sein. Da wir keine Unterstruktur mit nur einem Element gefunden haben, fällt C0 als Lösungskandidat sofort aus.
S2/C1 ergibt eine Algebra mit zwei Elementen - könnte also von der Anzahl der Elemente her isomorph zur Unteralgebra U1 = {0,1} sein. Also lassen wir uns die Subalgebra unter Beibehaltung der Operation * als eigene Struktur anzeigen und verlangen im Morphismenregister alle Isomorphismen von S2/C1 nach U1. Dabei soll natürlich wiederum der Schnitt erhalten bleiben und *S2/C1 soll in *U1 überführt werden.
Tatsächlich existiert ein Isomorphismus! Also gehört C1 zu den gesuchten Kongruenzen.
Analog finden wir heraus, dass auch die Kongruenzen C2, C3 und C4 die gefragte Eigenschaft erfüllen. Für C3 resp. C4 gibt es jeweils sogar zwei Isomorphismen von S2/C3 nach U3 resp. S2/C4 nach U4 (weil a und b unvergleichbar sind).