Sei A = (A, F) eine Algebra mit A = {a, b, c, d} und den wie folgt definierten Operationen ∘ und ★ gegeben.
| ∘ | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| a | a | b | c | d |
| b | b | c | d | a |
| c | c | d | a | b |
| d | d | a | b | c |
| ★ | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| a | a | a | a | a |
| b | a | b | c | d |
| c | a | c | a | c |
| d | a | d | c | b |
Berechne sämtliche Kongruenzen und Unteralgebren und zeige, dass A isomorph zum Ring ℤ4 ist.
Finde nicht-einfache, 0-1-einfache Verbände L = (L, ∨, ∧).
Beschreibe das direkte Produkt A × B der Algebren A = (A, fA, gA) und B = (B, fB, gB) durch Angabe der Verknüpfungstafeln von fA × B und gA × B.
A := {a, b, c}
| fA | a | b | c |
|---|---|---|---|
| a | b | a | c |
| b | a | b | c |
| c | c | c | b |
| x | a | b | c |
|---|---|---|---|
| gA(x) | a | b | c |
B := {0, 1}
| fB | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| x | 0 | 1 |
|---|---|---|
| gB(x) | 1 | 0 |
Sei A eine Menge mit fünf Elementen. Zeige, dass die Algebra (Eq(A), ∪, ∩) einfach ist.
Die zweielementige Boolesche Algebra 2 = ({0,1}, ∨, ∧, ', 0, 1) ist gegeben und es sei 24 := 2 × 2 × 2 × 2 (vergleiche direktes Produkt).
Bestimme alle Homomorphismen von 24 nach 2.
Prüfe die Algebra 25 auf Kongruenzdistributivität. Eine Algebra heisst kongruenzdistributiv, falls ihr Kongruenzverband distributiv ist (vergleiche Definition distributiver Verband).
Zeige: N5 ist subdirekt irreduzibel.
Berechne die achtelementigen Subalgebren der Booleschen Algebra B6 mit 6 Atomen.
Es sei S2 = ({0, a, b, e, 1}, ∧, ∗), wobei ∗ einstellig ist (vergleiche Abbildung ref{s2}, ∗ ist durch Pfeile angegeben). Finde für S2 alle Kongruenzen Θ mit der Eigenschaft, dass S2/Θ isomorph zu einer Unteralgebra von S2 ist.
Sei S2 definiert wie in Problem 9 und Ue die vom Element e ∈ S2 erzeugte Unteralgebra von S2. Zeichne den Unteralgebrenverband (SubUe2, ∨, ∧) (vergleiche Unteralgebrenverband) als Hasse-Diagramm.